1/3 的四周圆

Last updated on October 17, 2022 pm

1982 年的 SAT 考试中,有这样一道有趣的题目:

In the figure above, the radius of circle A is one third the radius of circle B. Starting from position shown in figure, circle A rolls around circle B. At the end of how many revolutions of circle A will the center of circle A first reach its starting point?
Fig.

  • (a) 3/2
  • (b) 3
  • (c) 6
  • (d) 9/2
  • (e) 9

机智如你,肯定一眼就能看穿题面。既然圆 B 的半径是圆 A 的三倍,那周长自然也是三倍,所以当然是三圈喽!

错。 实际上,上面没有一个正确答案,实际的转动圈数应该是 4 圈。出题人也没有发现这个错误。


如果不相信的话,你现在就可以用手头的东西试一试。不需要剪出来两个这样的圆,只需要找出两枚大小相同的硬币。按同样的方式旋转一圈,发现了吗?在旋转的硬币似乎转了两圈?
所以,这是怎么回事?


实际上,对于这个悖论,数学家们早有研究。硬币旋转悖论的核心在于:一圆绕另一圆的旋转过程和在直线上滚动并不相同。
在圆上旋转时,两圆的接触点始终在变化,因此,外圆最初的接触点(或者说,圆上的任意一点)实际上在运动过程中只会有限次的接触内圆,这导致该点运动的路程实际上不等于内圆周长。

这个问题的精确规律可以用如下思路来推导。

  1. 在直线上滚动的时候,实际上外圆的圆心所运动的路径也是一个直线,长度等于目标直线的长度。因此,接触点所运动的长度也就等于直线长度。
    这一条可能比较难以理解。同样,你可以用硬币和纸上的直线或者任意圆柱形物体和桌面来实验。如果我们把每一个接触桌面的点都在圆上描出来,可以很容易的看出,在直线上每走一段距离实际上都对应了圆上一段相等的距离,即:
    $$
    L = n(2\pi r) = n C_b
    $$
  2. 在圆上则不同。这时,外圆的圆心所运动的路径实际上是以内圆半径+外圆半径为半径的一个圆。此时,按照第一条的推导,将接触点运动路径展开成直线后,其长度实际上是这个圆的周长,即 :
    $$
    r_a = m r_b \Rightarrow L=2\pi(R+r) = (n+mn)C_b
    $$

所以,比例为 $1:1$ 的圆,转动次数为 $1+1\times1 = 2$,而比例为 $1:3$ 的圆,转动次数则为 $1+1\times3 = 4$。

解释配图


又是一个数学家的无聊构思?当然不。这个问题的解决实际上有着现实意义。在现代天文学中,年的记录有很多种标准,而最常见于比较的就是恒星年太阳年。一个恒星年指的是,相对于遥远的恒星,地球上某一点在绕公转轨道一周后回到相同位置的时长;而一个太阳年则指的是相对于太阳的时长。有了上面的计算铺垫,你能理解下面这张图中时间之差的不同吗?
恒星年和太阳年的差异,来自Wikimedia


1/3 的四周圆
http://elfile4138.moe/2022/10/1-3-的四周圆/
Author
Matrew File
Posted on
October 17, 2022
Updated on
October 17, 2022
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